[ProDS] 13. 모평균에 관한 가설검정(One sample t-test)

본 포스팅은 ProDS 필기 강의를 듣고 정리, 요약한 내용입니다.

모평균에 관한 추론

- 모집단이 정규분포인 경우 표본평균의 표본분포

  1) 모집단이 정규분포고 모분산 $\sigma^2$이 알려진 경우

$$\bar{X}\sim N[\mu,\, \frac{\sigma^2}{n}]$$

$$\Rightarrow Normalization \Rightarrow$$

$$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N[0,\, 1]$$

 

  2) 모집단이 정규분포고 모분산 $\sigma^2$이 알려지지 않은 경우

       : $\sigma^2$를 모르므로, 그 값을 표본 표준편차 $S$로, $Z$를 $T$로 대체한다.

$$S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i- \bar{X})^2}{n-1}} ,$$

$$T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t[n-1]$$

이 경우, $T$는 자유도가 $n-1$인 t-분포를 따른다 고 표현한다.

 

모평균에 관한 가설검정 - 단일표본 t검정$one\, sample\, t-test$

- 가설 유형 : 관심 모수가 $\mu$고 검정하려는 모수의 경계값이 $\mu_0$일 때, 

  1) 왼꼬리 검정 - $H_0 : \mu = \mu_0,\; H_1 : \mu< \mu_0$

  2) 오른꼬리 검정 - $H_0 : \mu = \mu_0,\; H_1 : \mu> \mu_0$

  3) 양측 검정 - $H_0 : \mu = \mu_0,\; H_1 : \mu \neq \mu_0$

 

- 검정 통계량 : $\sigma^2$를 모를 때의 검정통계량 $T$는 $H_0 : \mu = \mu_0$이 사실일 때, $T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t[n-1]$을 만족함.

 

- 유의확률$p-value$ 계산법 및 유의수준 $100(1-\alpha)$% 검정법

  1) $p-value$ : $H_0$가 사실일 때 $T$의 분포에서 $t_0$보다 $H_1$방향으로 더 극단적인 값이 나올 확률. 여기서 $t_0$는 표본 자료로부터 계산된 검정통계량의 값. 즉, $t_0 = \frac{\bar{x}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$

  2) $p-value \leq \alpha \quad \Rightarrow \quad H_0$기각, $H_1$채택