[ProDS] 6. 카이제곱분포, t분포

본 포스팅은 ProDS 필기 강의를 듣고 정리, 요약한 내용입니다.

카이제곱분포

1) 정의

  : $Z_1,\, Z_2,\, \cdots Z_k$가 $k$개의 서로 독립인 표준정규확률변수라 할 때 $$X={Z_1}^2+{Z_2}^2+\cdots +{Z_k}^2$$

가 따르는 분포를 자유도가 k인 카이제곱분포라 정의하며 확률분포함수는 $$ f(x)=\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})2^{\frac{k}{2}}}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\quad (0<x<\infty) $$

이 경우 $$X\sim \chi^2[k]$$라 한다.

출처 :&nbsp;https://actruce.com/chi-square-distribution/

2) 특성치

  : $E(X) = k, V(X) = 2k$

3)$(1-\alpha)$ 분위수

  : $X\sim \chi^2[k]$일 때, $P(X>C)=\alpha$를 만족하는 특정 값 $C$를 $X$의 $(1-\alpha)$분위수라 하고 $\chi_{\alpha,\, k}^2$로 표기함.

 

 

t분포

1) 정의

  : $Z\sim N[0,\, 1]$이고 $U\sim \chi^2 [k]$이며 $Z$와 $U$는 서로 독립이라 할 때 $$X=\frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{k}}}$$가 따르는 분포를 자유도가 k인 t분포라 정의한다. 이 경우 $$X\sim t[k]$$라 하고, 확률분포함수는 $$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{1}{(1+\frac{x^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}\quad (-\infty<x<\infty)$$

2) 특성치

  : $X\sim t[k]$인 경우, $E(X)=0,\, V(X)=\frac{k}{k-2}\quad (k>2)$이다$\quad$ => $\quad k\rightarrow \infty$이면 $V(X)\sim 1$, 즉 t분포는 표준정규분포로 수렴한다.

3) $(1-\alpha)$분위수

  : $X\sim t[k]$일 때, $P(X>C)=\alpha$를 만족하는 특정 값 $C$를 $(1-\alpha)$분위수라 하고, $t_{\alpha,\, k}$로 표기한다.