[ProDS] 3. 확률변수와 확률분포, 분포의 특성치

본 포스팅은 ProDS 필기 강의를 듣고 정리, 요약한 내용입니다.

 

- 확률변수

: 표본공간에서 정의된 실수값 함수.
다시 말하자면, 표본공간의 원소에 실수를 대응시키는 함수, 즉 사건의 결과를 실수로 바꿔놓은 것이라고도 말할 수 있다. $X$로 표현한다. 

 ex)  동전 한번 던지기. $S = {H, T} $. H에 1을, T에 0을 대응시키면  $$ X = \begin{cases}1 & if \quad H\\0 & if \quad T\end{cases} $$

        주사위 2번 던지기. $S = \left\{  (1,\, 1),\, (1,\, 2),\,  \cdots \, (6,\,  6) \right\}$. 두 눈의 합을 대응시키면 $ X = \left\{ 2, 3, \cdots 6 \right\} $

 

 1) 이산형 확률변수 : 확률변수를 셀 수 있는 경우.

 2) 연속형 확률변수 : 확률변수를 셀 수 없는 경우. 범위로 주어짐.

 

 

- 확률질량함수PMF($Probability\, Mass\, Function$)

: 확률변수 $X$가 이산형인 경우, $X$가 취할 수 있는 값 $x_1,\, x_2,\, \cdots x_n$ 각각에 대해서 확률 $P(X=x_1),\, P(X=x_2),\, \cdots P(X=x_n)$을 정의하는( 계산해주는) 함수.$f(x)$로 표기한다. 1), 2)와 같은 성질을 갖는다.

 

   1) $i = 1,\, 2,\, \cdots n$에 대해 $0\leq f(x_i)\leq1 $

   2) $0\leq f(x_i)\leq1$

 

 

- 확률밀도함수PDF($Probability\, Density\, Function$)

: 확률변수 $X$가 연속형인 경우, X가 값을 가질 수 있는 구간 $(-\infty,\, \infty )$위에서 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx = P(a\leq X \leq b)\quad(-\infty <a<b<\infty ) $$을 만족할 때, $f(x)$를 $X$의 확률밀도함수라 한다. 1), 2)와 같은 성질을 갖는다.

 

출처 : https://byjus.com/maths/probability-density-function/

    1) 모든 $a,\,b\, $에 대해 $ 0\leq\int_{a}^{b} f(x)dx\leq1 $

    2) $ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1  $ 

 

 

- 누적분포함수CDF($Cumulative\, Density\, Function$)

: $X$의 확률밀도함수가 $f(x)$일 때, $X$의 누적분포함수 $F(X)$는 $$ F(X)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx =P(X\leq x) $$이고, 아래와 같은 성질을 갖는다.

 

 1) $F(-\infty)=0, \, F(\infty)=1$

 2) $x$가 커지면 $F(x)$도 커지고, $F(x) > 0$

 

 

출처 : http://www.engineeredsoftware.com/lmar/cumulati.htm

 

출처 : http://www.engineeredsoftware.com/lmar/cumulati.htm

 

 

- 확률분포의 특성치

1) 기대값$expectation$ : 분포의 무게중심. 중심 위치를 나타낸다. $$ E(X) = \mu =  \begin{cases}{\sum_{all x}\,xf(x)} & X\; is\; descrete\\\int_{-\infty}^{\infty}\, xf(x)dx & X\; is\; continuous\end{cases}$$

2) 분산variance : 분포의 산포를 나타냄. $$ V(X) = \sigma ^2 = E((X-\mu) ^2) $$

3) 표준편차standard deviation : 분산의 제곱근. $$ S(X) = \sigma = \sqrt{V(X)} $$

 

출처 : http://walkermathcollegeprep.weebly.com/lesson-3.html