[ProDS] 4. 이항분포, 포아송분포, 지수분포

본 포스팅은 ProDS 필기 강의를 듣고 정리, 요약한 내용입니다.

 

- 베르누이 시행

: 매 시행의 결과가 성공 or 실패이며, 성공확률이 $p$로 일정한 시행을 말한다.

   ex) 동전을 하나 던지는 실험. $S= \left\{H,\, T \right\}$,  $P(H) =$ 1/2

 

 

- 이항분포

: 베르누이 시행을 독립적으로 $n$번 반복할 때의 확률분포.

   ex) 동전 하나를 세 번 던지는 실험.

 

 

- 이항확률변수

: n번의 시행 중 '성공' 횟수를 이항확률변수 $X$로 정의함. 이산형 확률변수.

* 이항분포의 확률질량함수 : $f(x) = P(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$

  이런 경우 이항확률변수 $X$는 $Bin(n,p)$로 표기함. $n$과 $p$가 $binomial$ 분포를 결정하는 모수다.

 

출처 : https://cpntools.org/2018/01/18/binomial/

 

- 이항분포의 특성치($X$~$Bin(n,p)인 경우$)

: $$E(X)=np, V(X)=np(1-p)$$

   ex) 어떤 시행의 성공을 $S$, 실패를 $F$라 할 때 $P(S)=0.7$이라 하자. 매 회 시행이 독립적일 때 4회 시행시 성공 횟수                          $X$ ~ $Bin(4, 0.7)$으로 표현 가능.

         - $P(X=1) = \binom{4}{1}\cdot  0.7^1 \cdot  (1-0.7)^{4-1}$

         - $E(X) = np = 4\cdot 0.7$

 

 

- 포아송 분포$Poisson distribution$

1) 포아송 확률변수$poisson random variable$

  : 단위시간 $(t-1)$에 포아송 확률과정을 따르는 사건 $A$가 발생하는 횟수 $X$

2) 포아송 확률질량함수

  : $$f(x) = P(X=x) = \frac{e^{-m}\cdot m^x}{x!} \quad (x=0,\, 1,\, 2,\, \cdots )$$   이 경우, $X$~$POI(m)$으로 표기한다. ( m : 포아송 모수. X는 모수가 m인 포아송 분포를 따른다 라고 표현함.)

 * $E(X) = V(X) = m$,  $m$은 사건 발생횟수 $X$의 평균

 

 

- 지수분포$Exponential distribution$

1) 지수확률변수$ Exponential Random Variable $

  : 단위구간에서 평균 발생횟수가 $m$인 포아송 확률과정을 따르는 사건 $A$ ( => $X$~$POI(m)$ )의 발생 사이의 시간간격 $w$로 정의된다.

2) 지수 확률밀도함수

  : $$f(x)=\frac{1}{\lambda }e^{-\frac{x}{\lambda }} \quad (x>0,\, m=\frac{1}{\lambda } )$$ 이 경우 $X$ ~ $EXP(\lambda )$로 표기하고, $\lambda$는 지수 모수라 한다.

* $\lambda$는 포아송 분포를 따르는 사건 $X$ 사이사이 소요시간 $w$의 평균이다 => $w$의 평균과 $X$의 평균은 역수 관계에 있음 ($\because \lambda = \frac{1}{m}$)