[ProDS] 5. 정규분포, 표준 정규분포

본 포스팅은 ProDS 필기 강의를 듣고 정리, 요약한 내용입니다.

정규분포$Normal distribution$

1) 정의 : 확률변수 $X$가 평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma ^2$이고 확률밀도함수 $f(x)$가 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-{(x-\mu)^2}}{2\sigma^2}}\quad (-\infty <x<\infty)$$ 일 때 $X$는 정규분포를 따른다고 하고, $$X\sim N_{ormal}[\mu,\, \sigma^2]$$ 라 한다.

  1) $\mu$는 분포의 중심, 위치 모수$Location Parameter$라 한다

  2) $\sigma^2$가 크면 분포의 산포가 커지고, 작으면 분포의 산포가 작아진다. 해서 $\sigma$를 척도모수$Scale Parameter$라 한다.

출처 : https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic4/4f/4f_2content_3.html

2) 정규분포의 특성치($X$ ~ $N[\mu,\, \sigma^2]$인 경우)

  : $E(X) = \mu,\quad V(X)= \sigma^2 \, => S(X) = \sigma$. $\quad$ ($E(X)$ : 기대값,  $V(X)$ : 분산,  $S(X)$ : 표준편차)

 

 

표준정규분포$Standard Normal Distribution$

1) 정의 : $\mu=0$,  $\sigma^2=1$인 정규분포를 표준정규분포라 정의한다. 

2) 확률변수 : 정규분포의 확률변수 $X$를 선형변환(정규분포의 선형불변성에 의해 선형변환 후에도 분포는 그대로 정규분포)한 $$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$ 를 표준정규분포의 확률변수로 사용한다($\frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X + (-\frac{\mu}{\sigma})$) 

$$E(ax+b) = aE(x)+b \, => E(Z) = E(\frac{1}{\sigma}X\, -\frac{\mu}{\sigma}) = \frac{1}{\sigma}E(x)-\, \frac{\mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}\, -\frac{\mu}{\sigma} = 0$$

$$V(ax+b) = a^2V(x)\, => V(Z) = V(\frac{1}{\sigma}X\, -\frac{\mu}{\sigma}) = \frac{1}{\sigma^2}  = \frac{1}{\sigma^2}\cdot \sigma^2 = 1$$

$X$를 $Z$로 변환하는 위의 과정을 표준화(정규화)$normalization$라 한다. 표준화로부터 $$Z(=\frac{X-\mu}{\sigma}) \sim N[0,\, 1]$$

정규화를 거친 후의 PDF는 $$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},\quad (-\infty<z<\infty)$$

출처 : https://collegedunia.com/exams/standard-normal-distribution-z-score-table-solved-questions-mathematics-articleid-5084

   ex) $X\sim N[10,\, 2^2]$일 때, $P(10<X<13) = P(?<Z<?)$

         : $Z = \frac{X-10}{2}\sim n[0,\, 1]$, $P(10<X<13) = P(\frac{10-10}{2}<Z<\frac{13-10}{2}) = P(0<Z<1.5)$

 

 

3) $Z$의 (1-$\alpha$) 분위수 $Z_{\alpha}$

  : $Z\sim N[0,\, 1]$일 때 $P(Z<C) = 1-\alpha$를 만족하는 특정 값 $C$를 $Z$의 $(1-\alpha)$분위수라 하고, $Z_{\alpha}$로 표기함. 쉽게 표현하면, $P(Z>Z_{\alpha})=\alpha$일 때의 $Z_{\alpha}$.

출처 : https://modern-manual.tistory.com/entry/%ED%91%9C%EC%A4%80%EC%A0%95%EA%B7%9C%EB%B6%84%ED%8F%AC%ED%91%9C-%EB%B3%B4%EB%8A%94%EB%B2%95-%EB%B0%8F-%EC%9D%B4%EB%AF%B8%EC%A7%80-%ED%8C%8C%EC%9D%BC